3.68 \(\int \text{csch}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=84 \[ \frac{\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{f}-\frac{\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{f} \]

[Out]

-((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Co
sh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.105076, antiderivative size = 84, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.217, Rules used = {3186, 402, 217, 206, 377} \[ \frac{\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{f}-\frac{\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csch[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2],x]

[Out]

-((Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f) + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Co
sh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f

Rule 3186

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[ff/f, Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x], x, Cos
[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 402

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Dist[b/d, Int[(a + b*x^2)^(p - 1), x], x]
- Dist[(b*c - a*d)/d, Int[(a + b*x^2)^(p - 1)/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && GtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1/2] || EqQ[Denominator[p], 4])

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rubi steps

\begin{align*} \int \text{csch}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \, dx &=-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a-b+b x^2}}{1-x^2} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{f}\\ &=-\frac{a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a-b+b x^2}} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{f}+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a-b+b x^2}} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{f}\\ &=-\frac{a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-a x^2} \, dx,x,\frac{\cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{f}+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{f}\\ &=-\frac{\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{f}+\frac{\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{f}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.123564, size = 97, normalized size = 1.15 \[ \frac{\sqrt{b} \log \left (\sqrt{2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b}+\sqrt{2} \sqrt{b} \cosh (e+f x)\right )-\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{a} \cosh (e+f x)}{\sqrt{2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b}}\right )}{f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csch[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2],x]

[Out]

(-(Sqrt[a]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[2*a - b + b*Cosh[2*(e + f*x)]]]) + Sqrt[b]*Log[Sqrt[2]
*Sqrt[b]*Cosh[e + f*x] + Sqrt[2*a - b + b*Cosh[2*(e + f*x)]]])/f

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.098, size = 174, normalized size = 2.1 \begin{align*}{\frac{1}{2\,f\cosh \left ( fx+e \right ) }\sqrt{ \left ( a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}} \left ( \sqrt{b}\ln \left ({\frac{1}{2} \left ( 2\,b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+2\,\sqrt{b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+ \left ( a-b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}\sqrt{b}+a-b \right ){\frac{1}{\sqrt{b}}}} \right ) -\sqrt{a}\ln \left ({\frac{1}{ \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}} \left ( \left ( a+b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+2\,\sqrt{a}\sqrt{b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+ \left ( a-b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}+a-b \right ) } \right ) \right ){\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x)

[Out]

1/2*((a+b*sinh(f*x+e)^2)*cosh(f*x+e)^2)^(1/2)*(b^(1/2)*ln(1/2*(2*b*cosh(f*x+e)^2+2*(b*cosh(f*x+e)^4+(a-b)*cosh
(f*x+e)^2)^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/b^(1/2))-a^(1/2)*ln(((a+b)*cosh(f*x+e)^2+2*a^(1/2)*(b*cosh(f*x+e)^4+(a-b)*cosh(f
*x+e)^2)^(1/2)+a-b)/sinh(f*x+e)^2))/cosh(f*x+e)/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a} \operatorname{csch}\left (f x + e\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sinh(f*x + e)^2 + a)*csch(f*x + e), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.26454, size = 11636, normalized size = 138.52 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(sqrt(b)*log((a^2*b*cosh(f*x + e)^8 + 8*a^2*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + a^2*b*sinh(f*x + e)^8 + 2*(
a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^6 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^2 + a^3 + a^2*b)*sinh(f*x + e)^6 + 4*(14*a^2*b*cosh(f
*x + e)^3 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (70*a
^2*b*cosh(f*x + e)^4 + 9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3 + 30*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(14*a^2
*b*cosh(f*x + e)^5 + 10*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^3 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)
^3 + b^3 + 2*(3*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^6 + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^4
+ 3*a*b^2 - b^3 + 3*(9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(f*x + e)^6
+ 6*a^2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + a^2*sinh(f*x + e)^6 + 3*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 3*(5*a^2*cosh(f*x + e)^2
+ a^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(5*a^2*cosh(f*x + e)^3 + 3*a^2*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2)*cosh
(f*x + e)^2 + (15*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 18*a^2*cosh(f*x + e)^2 + 4*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^2 + b^2 + 2*(3*a^2
*cosh(f*x + e)^5 + 6*a^2*cosh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*
x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) +
4*(2*a^2*b*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (3
*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))/(cosh(f*x + e)^6 + 6*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*cosh(f*x +
e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*cosh(f*x +
e)*sinh(f*x + e)^5 + sinh(f*x + e)^6)) + 2*sqrt(a)*log(-((a + b)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a + b)*cosh(f*x + e)*si
nh(f*x + e)^3 + (a + b)*sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(f*x + e)^2 + 3*a - b
)*sinh(f*x + e)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(a)*
sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh
(f*x + e)^2)) + 4*((a + b)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + a + b)/(cosh(f*x + e)^4
+ 4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 - 1)*sinh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x +
e)^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 - cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)) + sqrt(b)*log(-(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f
*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + a - b)*sinh
(f*x + e)^2 + sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((b*
cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e
)^2)) + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*si
nh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/f, 1/4*(4*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x
+ e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2
- 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b
*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh
(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)) + sqrt(b)*log((a^2*b*cosh(f*x + e)^8 + 8*a^2*b*cosh
(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + a^2*b*sinh(f*x + e)^8 + 2*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^6 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e
)^2 + a^3 + a^2*b)*sinh(f*x + e)^6 + 4*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^3 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e
)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (70*a^2*b*cosh(f*x + e)^4 + 9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3 + 30*(a^
3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^5 + 10*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^3 +
(9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + b^3 + 2*(3*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(14*a^
2*b*cosh(f*x + e)^6 + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^4 + 3*a*b^2 - b^3 + 3*(9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x
+ e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(f*x + e)^6 + 6*a^2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + a^2*sinh(f*x +
e)^6 + 3*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 3*(5*a^2*cosh(f*x + e)^2 + a^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(5*a^2*cosh(f*x + e)^3 + 3*
a^2*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (15*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 18*a^2*cosh(f*x
+ e)^2 + 4*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^2 + b^2 + 2*(3*a^2*cosh(f*x + e)^5 + 6*a^2*cosh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2
)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^
2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(2*a^2*b*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x
+ e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))/(cosh(f*x +
e)^6 + 6*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e
)^3 + 15*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + sinh(f*x + e)^6)) + sqrt(b)*log(-
(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*
b*cosh(f*x + e)^2 + a - b)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f
*x + e)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x +
e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(
f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/f, -1/2*(sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(f*x +
e)^2 + 2*a*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x
+ e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(a*b*cosh(f*x + e)^4 +
4*a*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + a*b*sinh(f*x + e)^4 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (6*a*b*cosh(f*x +
e)^2 + 3*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^2 + b^2 + 2*(2*a*b*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x
+ e))) + sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(
-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) +
sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cos
h(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x +
e))*sinh(f*x + e) + b)) - sqrt(a)*log(-((a + b)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a + b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + (
a + b)*sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(f*x + e)^2 + 3*a - b)*sinh(f*x + e)^2
- 2*sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((b*cosh(f*x
+ e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4
*((a + b)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + a + b)/(cosh(f*x + e)^4 + 4*cosh(f*x + e)
*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 - 1)*sinh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f
*x + e)^3 - cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)))/f, 1/2*(2*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*
x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(c
osh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh
(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e
)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)) - sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(f*
x + e)^2 + 2*a*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(
f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(a*b*cosh(f*x + e)^
4 + 4*a*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + a*b*sinh(f*x + e)^4 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (6*a*b*cosh(f*
x + e)^2 + 3*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^2 + b^2 + 2*(2*a*b*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f
*x + e))) - sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sq
rt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)
+ sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*
cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*
x + e))*sinh(f*x + e) + b)))/f]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a + b \sinh ^{2}{\left (e + f x \right )}} \operatorname{csch}{\left (e + f x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)**2)**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*sinh(e + f*x)**2)*csch(e + f*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: RuntimeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: RuntimeError